Να αποδείξετε την
αρχή της απόφασης.
Η απόδειξη της
αρχής της απόφασης μπορεί να γίνει με πίνακα αλήθειας. Ο πίνακας αλήθειας είναι
μια αρκετά γενική τακτική για απόδειξη προτάσεων της άλγεβρας Boole.
Έστω λοιπόν οι
ακόλουθες προτάσεις.
α) P1 V P2 V ... V PN
β) ~P1 V Q2 V ... V QM
Θέλουμε να
αποδείξουμε ότι εάν αυτές οι προτάσεις είναι αληθείς, τότε θα ισχύει και το
γεγονός
γ) P2 V ... V PN V Q2 V ... V QM
Για να
κατασκευάσουμε τον πίνακα της αλήθειας θα πρέπει να θεωρήσουμε τα σύνθετα γεγονότα:
Α º P2 V ... V PN
Β º Q2 V ... V QM
οπότε έχουμε και
τις παρακάτω αντικαταστάσεις:
P1 V P2 V ... V PN º P1 V Α
~P1 V Q2 V ... V QM º ~P1 V Β
από τις οποίες
περιμένουμε ότι όταν αληθεύουν, θα αληθεύει και η πρόταση:
Α V B
Ο πίνακας
αλήθειας θα είναι ο ακόλουθος:
|
P1 |
A |
B |
P1 V A |
~P1 V B |
(P1VA)&(~P1VB)
|
A V B |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Παρατηρήστε ότι όποτε είναι αληθής η πρόταση (P1VA)&(~P1VB), τότε είναι αληθής και η πρόταση Α V B.
Λύση – Επιμέλεια
Γιάννης
Πανταζόπουλος